如图.在正方形ABCD中.E是BC上的一点.连结AE.作BF⊥AE.垂足为H.交CD于F.作CG∥AE.交BF于G.求证:(1)CG＝BH.(2)FC2＝BF·GF.(3)＝. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.

求证：(1)CG＝BH，
(2)FC²＝BF·GF，
(3)＝.

见解析

解析证明：(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，
∠CBG＋∠BCG＝90°，∠BAH＋∠ABH＝90°，
∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，
AB＝BC，∴△ABH≌△BCG，∴CG＝BH；
(2)∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，
∴△CFG∽△BFC，∴＝，
即FC²＝BF·GF；
(3)由(2)可知，△BCG∽△BFC
∴＝，∴BC²＝BG·BF，
∵AB＝BC，∴AB²＝BG·BF，
∴＝＝
即＝.

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探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S_△_BOC与S_△_ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．

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（2）若将△ABC，△A₁B₁C₁如图③摆放，使点B₁与B重合，点A₁在AC边的延长线上，连接CC₁交A₁B于点F．试判断∠A₁C₁C与∠A₁BC是否相等，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AC＝3，B₁C₁＝6，设A₁B＝x，C₁F＝y，写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

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