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在正方形ABCD中,点M是射线BC上一点,点N是CD延长线上一点,且BM=DN.直线BD与MN相交于E.
(1)如图1,当点M在BC上时,求证:BD-2DE=BM;
(2)如图2,当点M在BC延长线上时,BD、DE、BM之间满足的关系式是        
(3)在(2)的条件下,连接BN交AD于点F,连接MF交BD于点G.若DE=,且AF:FD=1:2时,求线段DG的长.

(1)证明见解析;(2)BD+2DE=BM;(3)

解析试题分析:(1)过点M作MF⊥BC交BD于点F,推出FM=DN,根据AAS证△EFM和△EDN全等,推出DE=EF,根据正方形的性质和勾股定理求出即可;
(2)过点M作MF⊥BC交BD于点F,推出FM=DN,根据AAS证△EFM和△EDN全等,推出DE=EF,根据正方形的性质和勾股定理求出即可;
(3)根据已知求出CM的长,证△ABF∽△DNF,得出比例式,代入后求出CD长,求出FM长即可.
试题解析:(1)过点M作MF⊥BC交BD于点F,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=90°,
∴FM∥CD,
∴∠NDE=∠MFE,
∴FM=BM,
∵BM=DN,
∴FM=DN,
在△EFM和△EDN中,

∴△EFM≌△EDN,
∴EF=ED,
∴BD-2DE=BF,
根据勾股定理得:BF=BM,
即BD-2DE=BM.
(2)过点M作MF⊥BC交BD于点F,与(1)证法类似:BD+2DE=BF=BM,
(3)由(2)知,BD+2DE=BM,BD=BC,
∵DE=

∴CM=2,
∵AB∥CD,
∴△ABF∽△DNF,
∴AF:FD=AB:ND,
∵AF:FD=1:2,
∴AB:ND=1:2,
∴CD:ND=1:2,
CD:(CD+2)=1:2,
∴CD=2,∴FD=
∴FD:BM=1:3,
∴DG:BG=1:3,
∴DG=
考点:1.正方形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.相似三角形的判定与性质.

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