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    如图，已知直线y=-
    12
    x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
    （1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
    （2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的 函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三精英家教网角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）把x=0代入求出A的坐标，求出直线与抛物线的交点坐标即可；
    （2）过点P作PD⊥x轴于点D，设P的坐标是（x，-
    1
    2
    x+2），根据勾股定理求出x即可；
    （3）连接AM，求出AM，①当PM=PA时，根据勾股定理得到
    5
    4
    x2+2x+8=x2+（-
    1
    2
    x+2-2）2，求出方程的解即可；同理②当PM=AM时，求出P的坐标；③当PA=AM时，求出P的坐标．
    解答：解：（1）A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y=
    1
    2
    （x+2）2．精英家教网

    （2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，
    过点P作PD⊥x轴于点D，
    设P的坐标是（x，-
    1
    2
    x+2），则在Rt△PDM中，
    PM2=DM2+PD2
    即l2=（-2-x）2+（-
    1
    2
    x+2）2=
    5
    4
    x2+2x+8，
    自变量x的取值范围是：-5＜x＜0，
    答：l2与x之间的函数关系是l2=
    5
    4
    x2+2x+8，自变量x的取值范围是-5＜x＜0．

    （3）存在满足条件的点P，
    连接AM，由题意得，AM=
    		OA2+OM2
    =2
    		2
    ，
    ①当PM=PA时，
    5
    4
    x2+2x+8=x2+（-
    1
    2
    x+2-2）2，
    解得：x=-4，
    此时y=-
    1
    2
    ×（-4）+2=4，
    ∴点P1（-4，4）；
    ②当PM=AM时，
    5
    4
    x2+2x+8=（2
    		2
    ）2，
    解得：x1=-
    8
    5
        x2=0（舍去），
    此时y=-
    1
    2
    ×（-
    8
    5
    ）+2=
    14
    5
    ，
    ∴点P2（-
    8
    5
    ，
    14
    5
    ），
    ③当PA=AM时，x2+（-
    1
    2
    x+2-2）2=（2
    		2
    ）2，
    解得：x1=-
    4
    		10
    5
        x2=
    4
    		10
    5
    （舍去），
    此时y=-
    1
    2
    ×（-
    4
    		10
    5
    ）+2=
    2
    		10
    +10
    5
    ，
    ∴点P3（-
    4
    		10
    5
    ，
    2
    		10
    +10
    5
    ），
    综上所述，满足条件的点为：
    P1（-4，4）、P2（-
    8
    5
    ，
    14
    5
    ）、P3（-
    4
    		10
    5
    ，
    2
    		10
    +10
    5
    ），
    答：存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标是（-4，4）或（-
    8
    5
    ，
    14
    5
    ）或（-
    4
    		10
    5
    ，
    2
    		10
    +10
    5
    ）．
    点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
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    相等
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    2
    3
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    8
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