Question

如图，双曲线与直线交于点A（-1，5），B（-5，1），BC⊥于x轴于C，AD⊥y轴于D．问，在AB上是否存在E，使△ADE与△BCE面积相等？

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+6．再设在AB上存在E（x，x+6），使△ADE与△BCE面积相等，然后分三种情况进行讨论：①当点E在线段AB之间时，-5＜x＜-1；②当点E在线段AB延长线时，x＜-5；③当点E在线段BA延长线时，x＞-1．每一种情况都根据△ADE与△BCE面积相等列出方程，解方程即可．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（-1，5），B（-5，1）代入，
得

-k+b=5 -5k+b=1

，
解得

k=1 b=6

．
所以直线AB的解析式为y=x+6．
假设在AB上存在E（x，x+6），使△ADE与△BCE面积相等，
①当点E在线段AB之间时，-5＜x＜-1．

1

2

×1×（5-x-6）=

1

2

×1×（x+5），
解得x=-3，符合题意，
当x=-3时，x+6=3，即E（-3，3）；
②当点E在线段AB延长线时，x＜-5．

1

2

×1×（5-x-6）=

1

2

×1×（-5-x），
x无解；
③当点E在线段BA延长线时，x＞-1．

1

2

×1×（x+6-5）=

1

2

×1×（x+5），
x无解；
综上可知，在AB上存在E（-3，3），使△ADE与△BCE面积相等．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，难度适中．设E（x，x+6），用含x的代数式正确表示△ADE与△BCE的面积是解题的关键．