我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.如图.E.F.G.H分别是四边形ABCD各边的中点.可证中点四边形EFGH是平行四边形.如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件.则可使中点四边形EFGH成为特殊的平行四边形.请你经过探究后回答下面问题?(1)①当AC=BD时.四边形EFGH为菱形, ②当AC⊥BD时.四边形EFGH为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，可证中点四边形EFGH是平行四边形，如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使中点四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？
（1）①当AC=BD时，四边形EFGH为菱形；
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．
（2）当AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？请回答并证明你的结论．

分析（1）证明GH是△ACD的中位线，得出GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，同理：EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，得出GH∥EF，GH=EF，证出四边形EFGH是平行四边形，再证出EF=GF，即可得出结论；
②同①得：四边形EFGH是平行四边形，由AC⊥BD，证出∠HGF=90°，得出四边形EFGH为矩形；
（2）由AC=BD得出四边形EFGH为菱形；由AC⊥BD得出四边形EFGH为矩形，即可得出四边形EFGH为正方形．

解答（1）解：①当AC=BD时，四边形EFGH为菱形；理由如下：
∵G、H分别是四边形CD、AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
同理：EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：AC=BD；
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：
同①得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形；
故答案为：AC⊥BD；
（2）解：当AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形；理由如下：
当AC=BD时，由①得：四边形EFGH为菱形；
当AC⊥BD时，由②得：四边形EFGH为矩形；
∴四边形EFGH为正方形．

点评本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定方法；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．

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