Question

【题目】开学初，小芳和小敏到学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小敏用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本各多少元？
（2）为了奖励班上表现突出的学生，班主任张老师拿出200元钱交给班长，班长到学校商店购买上述价格的钢笔和笔记本两种奖品，计划购买钢笔和笔记本的数量共是45个，要求购买笔记本的数量不小于钢笔数量的2倍．共有哪几种购买方案？请写出费用最少的方案及最少费用是多少元？

Answer 1

【答案】
（1）解：设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元．

由题意得： ，

解得： ．

答：钢笔的单价为3元，笔记本的单价为5元．

（2）解：设买a支钢笔，则买笔记本（45﹣a）本，

由题意得， ，

解得：20≤a≤24，

∵a为正整数，

∴a=20，21，22，23，24，

∴购买方案有五种，分别是：

①买钢笔20支，笔记本28本；

②买钢笔21支，笔记本27本；

③买钢笔22支，笔记本26本；

④买钢笔23支，笔记本25本；

⑤买钢笔24支，笔记本24本；

设买奖品所需费用为W，则：W=3a+5（48﹣a）=﹣2a+240，

∵k=﹣2＜0，W随a的增大而减小，

∴当a取最大值24时，W最小，W最小值=192，

答：购买奖品所需的最少费用为192元．

【解析】把文字翻译成数学符号，构建方程组模型是解此类题的关键；方案型问题就是要构建双边不等式，有几个整数解就有几种方案；最值问题就是构建函数，求自变量的范围，在此范围内利用函数单调性解决最值问题.