Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，1），且对于任意的实数x，有4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立．
（1）求4a+2b+c的值；
（2）已知点B（0，2），设点M（x，y）是抛物线上任一点，求线段MB的长度的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4，得出当x=2时4a+2b+c=4．
（2）由y=ax²+bx+c图象经过（-1，1），得出a，b，c的关系式．再由直线y=4x-4与抛物线y=ax²+bx+c至多只有一个交点，得出a，b，c的值．由x²≤2x²-4x+4，运用勾股定理得出MB²的关系式，即可求出线段MB的长度的最小值．

解答：解：（1）∵4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4，对任意的实数x都成立，
∴当x=2时，有4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4，①
（2）∵y=ax²+bx+c图象经过（-1，1），
∴a-b+c=1，②
由①，②可得，b=1-a，c=2-2a，
∵4x-4≤ax²+bx+c对任意的实数x都成立，
∴直线y=4x-4与抛物线y=ax²+bx+c至多只有一个交点，
方程ax²+bx+c=4x-4中，△=（b-4）²-4a（c+4）≤0，
把b=1-a，c=2-2a 代入得：9（a-1）²≤0
∴a=1，b=0，c=0，
即抛物线解析式为y=x²．
∵ax²+bx+c≤2x²-4x+4
∴x²≤2x²-4x+4，
由下图可知，MB²=x²+（y-2）²=x²+（x²-2）²，

令x²=m，MB²=m+（m-2）²=m²-3m+4=（m-

3

2

）²+

7

4

，
∴当m=

3

2

时，线段MB的长度的最小值MB=

7

2

，此时x=±

6

2

．
∴线段MB的长度的最小值MB=

7

2

．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，涉及不等式及一元二次方程及勾股定理综合性很强，解题的关键是利用不等式的解及一元二次方程的△求出抛物线解析式．