Question

7．如图1，直线l交x轴于点D，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于两点A、E、AG⊥x轴，垂足为点G，S_△AOG=3
（1）k=6；
（2）求证：AD=CE；
（3）如图2，若当E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设A（m，n），由题意 $\frac{1}{2}$•OG•AG=3，推出mn=6，由点A在y=$\frac{k}{x}$上，推出k=mn=6．
（2）如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．首先证明EM=-k′AN，EM=-k′MC，推出AN=CM，再证明△DAN≌△ECM，即可解决问题．
（3）如图2中，连接GD，GE．由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出S_△ADG=S_△AGE=S_△GEC=3，求出△AOC的面积即可解决问题．

解答 （1）解：设A（m，n），
∵$\frac{1}{2}$•OG•AG=3，
∴$\frac{1}{2}$•m•n=3，
∴mn=6，
∵点A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=mn=6．
故答案为6．

（2）证明：如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．

则有y₁=k′x₁+b，y₂=k′x₂+b，
∴y₂-y₁=k′（x₂-x₁），
∴$\frac{6}{{x}_{2}}$-$\frac{6}{{x}_{1}}$=k′（x₂-x₁），
∴-k′x₁x₂=6，
∴-k′x₁=$\frac{6}{{x}_{2}}$，
∴y₂=-k′x₁，
∴EM=-k′AN，
∵D（0，b），C（-$\frac{b}{k′}$，0），
∴tan∠DCO=$\frac{OD}{OC}$=-k′=$\frac{EM}{MC}$，
∴EM=-k′MC，
∴AN=CM，
∵AN∥CM，
∴∠DAN=∠ECM，
在△DAN和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠ECM}\\{AN=CM}\\{∠DNA=∠EMC=90°}\end{array}\right.$，
∴△DAN≌△ECM，
∴AD=EC．

（3）解：如图2中，连接GD，GE．

∵EA=EC，AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴S_△ADG=S_△AGE=S_△GEC=3，
∵S_△AOG=S_△ADG=3，
∴S_△AOC=3+3+3=9，
∴平行四边形ABCD的面积=2•S_△AOC=18．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，本题的突破点是证明AN=CM，题目比较难，属于中考压轴题．