Question

12．已知抛物线y=ax²-4ax+3与x轴交于A（1，0），B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上有一点P，满足tan∠BCP=$\frac{1}{5}$，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上有点Q，存在以点Q为圆心，同时与直线BC和x轴都相切的圆，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出a的值即可
（2）先求出A、B、C的坐标，可知OB=OC，从而可知∠OCB=∠CBO=45°，设直线CP与x轴交于D，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=x，根据勾股定理求出x的值，从而可知D的坐标，然后求出直线CP的解析式，联立直线CP与抛物线的解析式即可求出P的坐标．
（3）由题意可知：点Q在∠CBO的角平分线上或在∠CBO外角的平分线上，设QD=m，利用勾股定理即可求出m的值，从而可求出Q的坐标．

解答 解：（1）将A（1，0）代入抛物线解析式中，
∴0=a-4a+3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3，
（2）设CP与x轴交于点D，
过点D作DE⊥BC于点E，
设DE=x，
令y=0代入y=x²-4x+3，
∴解得：x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
令x=0代入y=x²-4x+3，
∴y=3，
∴C（0，3）
∴OC=3，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
∴由勾股定理可知：BC=3$\sqrt{2}$，
∵tan∠BCP=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{5}$，
∴CE=5x，
∴BE=BC-CE=3$\sqrt{2}$-5x，
∵∠CBO=45°，
∴DE=EB，
∴x=3$\sqrt{2}$-5x，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由勾股定理可知：BD=$\sqrt{2}$DE=1，
∴OD=OB-BD=2，
∴D（2，0）
设直线CP的解析式为：y=kx+b，
把C（0，3）和D（2，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴直线CP的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+3
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
∴P的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）
（3）存在以点Q为圆心，同时与直线BC和x轴都相切的圆
由（1）可知：抛物线的对称轴为x=2，
∵⊙Q与直线BC和x轴都相切，
∴Q到直线BC与x轴的距离相等，
当点Q在∠CBO的角平分线上时，
即∠CBO的角平分线与对称轴x=2交于点Q，
设∠CBO的角平分线与y轴交于点F，过点F作FG⊥BC于点G，
设QD=m，
∵QD∥y轴，
∴△BQD∽△BFO
∴$\frac{QD}{OF}=\frac{BD}{OB}$，
∴OF=3m，
∴CF=OC-OF=3-3m，
∵BF平分∠CBO，
∴OF=FG=3m，
∵∠OCB=45°，
∴CF=$\sqrt{2}$FG，
∴3-3m=3$\sqrt{2}$m，
m=$\sqrt{2}$-1
∴Q（2，$\sqrt{2}$-1）．
当点Q在∠CBO的外角的角平分线上时，
过点Q作QF⊥BC于点F，交x轴于点G，
由角平分线的性质可知：DB=BF=1，
∵∠FBG=∠CBO=45°，
∴由勾股定理可知：BG=$\sqrt{2}$，
∴DG=BD+BG=1+$\sqrt{2}$，
∵∠BGF=∠GBF=45°，
∴QD=DG=1+$\sqrt{2}$，
∴Q（2，-$\sqrt{2}$-1）
综上所述：Q（2，$\sqrt{2}$-1）或（2，-$\sqrt{2}$-1）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解方程，勾股定理，待定系数法求解析式等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．