Question

1．如图ABC中，AB=AC，⊙O为△ABC的外接围，D为⊙O外一点，∠DCA=∠ACB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接OD，若OD⊥AC，当AB=4$\sqrt{5}$，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$时，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OA、OC，延长AO交BC于E，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠OCD=90°即可．
（2）如图2中，连接AD，OA、OC、作CM⊥AD于M，AC与OD交于点N，首先证明∠BAC=∠ADC，推出sin∠BAC=sin∠ADC=$\frac{4}{5}$=$\frac{CM}{CD}$，设CM=4k，CD=AD=5k，则DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=3k，AM=2k，在Rt△ACM中，由AC²=CM²+AM²，可得80=16k²+4k²，解得k=2，推出AD=CD=10，AM=4，DM=6，在Rt△ADN中，DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，由△OCD∽△CND，可得$\frac{OD}{CD}$=$\frac{CD}{DN}$，延长即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OA、OC，延长AO交BC于E．

∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AE⊥BC，
∠BAE=∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠ACE=90°，∠ACD=∠ACB，
∴∠OCA+∠ACD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：如图2中，连接AD，OA、OC、作CM⊥AD于M，AC与OD交于点N．

∵OD⊥AC，
∴NA=NC，
∴DA=DC，∠ADO=∠ODC，
∵∠OCA+∠DCN=90°，∠DCN+∠CDO=90°，
∴∠OCA=∠OAC=∠CDO，
∵∠BAC=2∠OAC，∠ADC=2∠CDO，
∴∠BAC=∠ADC，
∴sin∠BAC=sin∠ADC=$\frac{4}{5}$=$\frac{CM}{CD}$，
设CM=4k，CD=AD=5k，则DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=3k，AM=2k，
在Rt△ACM中，∵AC²=CM²+AM²，
∴80=16k²+4k²，
∴k=2，
∴AD=CD=10，AM=4，DM=6，
在Rt△ADN中，DN=$\sqrt{A{D}^{2}-A{N}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵△OCD∽△CND，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{CD}{DN}$，
∴$\frac{OD}{10}$=$\frac{10}{4\sqrt{5}}$，
∴OD=5$\sqrt{5}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．