Question

如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．

（1）求证：PA=PE；

（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；

（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．

【答案】（1）证明见解析；（2）AP：PE=5：4；（3）AP：PE=5：4；

【解析】

试题分析：（1）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四边形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，证△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；

（2）证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出，，推出，求出，证△APM∽△EPN，推出即可；

（3）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出，，推出，求出，证△APM∽△EPN，推出即可．

试题解析：（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∴∠MPB=45°=∠ABD，

∴PM=BM，

同理BP=BN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，

∴四边形BMPN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵∠APE=90°，

∴都减去∠MPE得：∠APM=∠NPE，

∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠AMP=∠PNE，

在△APM和△EPN中

∴△APM≌△EPN（ASA），

∴AP=PE；

（2）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠C=90°，

∵∠PMB=PNB=90°，

∴PM∥AD，PN∥CD，

∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，

∴，，，

∴，

∴，

∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，

∴△APM∽△EPN，

∴=，

AP：PE=5：4；

（3）【解析】
AP：PE=5：4．

考点：相似形综合题．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】2015届山东省威海市乳山市中考一模数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】
 

如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．

（1）求B，C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

Answer 1