Question

11．已知$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，则$\sqrt{\frac{x}{y}}$+$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{x-3y}{2x+y}$=0或$-\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 根据已知$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，两边同时平方可以得到$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$的值，$\sqrt{\frac{x}{y}}$+$\sqrt{\frac{y}{x}}$平方后可得$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$+2，从而建立关系，可以得到$\sqrt{\frac{x}{y}}$+$\sqrt{\frac{y}{x}}$的值，从而可以求得$\frac{x-3y}{2x+y}$的值，从而解答本题．

解答 解：∵$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{4}{3}$．
∴$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{10}{3}$．
∴$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2=\frac{10}{3}+2$．
即$（\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}）^{2}=\frac{16}{3}$．
∵$\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}＞0$，
∴$\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{10}{3}$=3+$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{x}{y}=3$或$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$．
∵$\frac{x-3y}{2x+y}=\frac{\frac{x}{y}-3}{2×\frac{x}{y}+1}$，
∴当$\frac{x}{y}=3$时，原式=$\frac{3-3}{2×3+1}=0$．
当$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$时，原式=$\frac{\frac{1}{3}-3}{2×\frac{1}{3}+1}=\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}}=-\frac{8}{5}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0或$-\frac{8}{5}$．

点评 本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是灵活的将题目中的式子进行变形，从而变出所求式子需要的条件．