Question

15．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．

Answer 1

分析 先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，而∠EAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠DAC-∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF=50°，所以对顶角相等：∠BOE=∠AOF=50°．

解答 解：①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．
∵AE是的角平分线，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°
∴在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．
②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=20°，
又∵∠C=60°，
∴∠AFO=80°，
∴∠AOF=180°-80°-40°=60°，
∴∠BOE=∠AOF=60°．

点评 考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．