Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，分别延长AB和DC相交于点P，

CB

=

CD

，AB=12，CD=6，PB=8，则⊙O的面积为

 

．

Answer 1

分析：由切割线定理求出PC，证△PCB∽△PAD得到比例式求出AD，根据AD、AB、CD、BC的长度推出AC是直径，求出∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC即可．

解答：解：由切割线定理得：PB×PA=PC×PD，
∴8×（8+12）=PC×（PC+6），
∴PC=10，
连接AC，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠PCB=∠PAD，
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAD，
∴

PC

PA

=

BC

AD

，
∵弧BC=弧CD，
∴BC=CD=6，
∵PC=10，PA=8+12，
∴

10

8+12

=

6

AD

，
∴AD=12=AB，
∴弧AB=弧AD，
∵弧BC=弧CD，
∴弧ABC=弧ADC，
∴AC是圆的直径，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=6

5

，
∴圆O的半径是3

5

，面积是π•(3

5

)2=45π，
故答案为：45π．

点评：本题主要考查对圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能推出AC是直径是解此题的关键．