Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-1（如图1）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）P是y轴上一点，若△PBC与△BOC相似，求点P的坐标；
（3）连接AD、BD（如图2），点M是AD上的一个动点，过点M作MN∥AB交BD于点N，把△DMN沿MN折叠得△D′MN，设△D′MN与△ABD的重叠部分的面积为S，请探究：S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据其对称轴为x=-1，求得a的值，代入函数关系式即可求得其顶点坐标；
（2）设出p点的坐标，利用两三角形相似得到有关的方程，解得后即可求得p点的坐标；
（3）设DM=x，作DE⊥AB，垂足为E，交MN于点F，求得线段DA的长，分当0≤x≤

5

时和当

5

＜x≤2

5

时两种情况求得重叠部分的最大面积即可．

解答：解：（1）由题意可得：-

-2

2a

=-1
∴a=-1，
则y=-x²-2x+3
∴y=-（x+1）²+4，
∴顶点D的坐标是（-1，4）；

（2）∵P是y轴上一点，
∴设点P的坐标为（0，y）
又∵∠COB=90°，∠PCB≠90°
∴⒈当∠CPB=90°=∠COB   则点P的坐标为（0，0）此时△CPB∽△COB，
⒉当∠CBP=90°=∠COB时，则△CBP∽△COB，
∴∠OCB=∠PBO，
∴△COB∽△BOP，
∴

CO

BO

=

BO

PO

--------------（7分）
又∵y=-x²-2x+3，
∴点C坐标是（0，3）、点B的坐标是（1，0）
∴

3

1

=

1

PO

，
∴PO=

1

3

∴点P的坐标是（0，-

1

3

）-------------（9分）

（3）设DM=x，作DE⊥AB，垂足为E，交MN于点F，
∵点D（-1，4）
∴DA=2

5

①当0≤x≤

5

时（图1），S=S△D/MN
由折叠可知，S△D/MN=S△DMN=

1

2

MN•DF
∵MN∥AB，
∴△DMN∽△DAB
∴

DF

DE

=

MN

AB

=

DM

DA

即

DE

4

=

MN

4

=

x

2 5

，
∴DE=MN=

2 5

5

x
∴S=

1

2

•

2 5

5

x•

2 5

5

x=

2

5

x2------------------（10分）
∴当x=

5

时，S_max=2；--------------------（11分）
②当

5

＜x≤2

5

时，如图2，则S=S_梯形MNGK
由折叠可知：∠DMN=∠D′MN，
又∵MN∥AB
∴∠DMN=∠DAB∠NMK=∠MKA
∴∠MAK=∠MKA
∴MK=MA=2

5

-x
∴D/K=x-(2

5

-x)=2x-2

5

由△D′KG∽△D′MN得，

D/K

D/M

=

KG

MN

∴KG=

4 5

5

x-4
又∵DF=MN=

2 5

5

x
∴EF=4-

2 5

5

x
∴S=

1

2

(

4 5

5

x-4+

2 5

5

x)(4-

2 5

5

x)=-

6

5

x2+

16 5

5

x-8------------（12分）
∴-

b

2a

=

4 5

3

4ac-b2

4a

=

8

3

又∵a=-

6

5

＜0，x=

4 5

3

在

5

＜x≤2

5

范围内
∴当x=

4 5

3

时 Smax=

8

3

，------------------------------------（13分）
综合上面分析可知：S的最大值是

8

3

．------------------------------（14分）

点评：本题主要考查了二次函数的性质，三角形相似的性质，梯形的面积公式，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能综合运用这些知识解题是解决本题的关键．难点是（3）小题的求法，巧妙地运用了分类讨论思想．