Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，点D是AB的中点，点P是线段AC上的动点，连接PB，PD，将△BPD沿直线PD翻转，得到△B′PD与△APD重叠部分的面积是△ABP面积的$\frac{1}{4}$时，AP=6-$\sqrt{6}$或$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 如图所示，由S△PDF=$\frac{1}{4}$S△ABP，得到F为AP的中点，于是DF∥BP，所以∠2=∠3，根据折叠的性质，∠1=∠2，所以∠1=∠3，所以BD=BP=$\frac{1}{2}$AB，根据勾股定理知AB=2$\sqrt{10}$，所以BP=$\sqrt{10}$，再根据勾股定理得PC=$\sqrt{6}$，所以AP=6-$\sqrt{6}$；或折叠△PDB'的顶点B′落在AB下方可求解．

解答 解：∵S_△PDF=$\frac{1}{4}$S_△ABP，S_△DPB=S_△DPA，
∴F为AP的中点，
又∵点D是AB的中点，
∴DF∥BP，
∴∠2=∠3，
根据折叠的性质，∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BD=BP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=6，BC=2，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴BP=$\sqrt{10}$，
∴PC=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AP=AC-PC=6-$\sqrt{6}$；
当折叠△PDB'的顶点B′落在AB下方，易证△AEP≌△DEB′，
∴AP=DB′=BD=$\sqrt{10}$
故答案为：6-$\sqrt{6}$或$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了折叠变换问题、等积变换、三角形的中位线性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用，本题综合性较强，有一定的难度．