Question

17．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，F是边BC上的动点，且DF⊥AB，EF⊥AC．则四边形ADFE的面积最大值是12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质得出AB=BC=8，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=4，解直角三角形求出AM，得出△ABC的面积；求出∠DFB=∠EFC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（8-x），得出DF、EF的长度，求出△BDF和△CEF的面积，由四边形ADFE面积S=△ABC的面积-△BDF的面积-△CEF的面积，得出S与x之间的函数关系式为S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$；化成顶点式，得出当x=4时，S取最大值为12$\sqrt{3}$即可．

解答 解：作AM⊥BC于M，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=8，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×8×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$，
设BF=x，则CF=8-x，
∵∠BDF=∠CEF=90°，∠B=∠C=60°，
∴∠DFB=∠EFC=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$x，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EF=$\sqrt{3}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-x），
∴△BDF的面积=$\frac{1}{2}$BD•DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²，
△CEF的面积=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-x）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（8-x）²，
∴S_{四边形ADFE}=△ABC的面积-△BDF的面积-△CEF的面积
=16$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（8-x）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$，
即S与x之间的函数关系式为S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$；
又∵S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x+8$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-4）²+12$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴当x=4时，S取最大值为12$\sqrt{3}$；
故答案为12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算公式、含30°角的直角三角形的性质、二次函数的最值问题等知识；求出S与x之间的函数关系式是解题的关键．