Question

19．如图，AE是△ABC的高，D为AC上一点，AE交BD于点F，且FE=CE，BF=AC．求证：BD⊥AC．

Answer 1

分析 求出∠AEC=∠BEF=90°，根据HL证Rt△AEC≌Rt△BEF，根据全等得出∠DBC=∠EAC，根据∠BEF=90°求出∠BFE+∠DBC=90°，求出∠CAE+∠AFD=90°，根据三角形内角和定理求出∠ADF=90°，即可得出答案．

解答 证明：∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=∠BEF=90°，
在Rt△AEC和Rt△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BF}\\{CE=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△BEF（HL），
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠BEF=90°，
∴∠BFE+∠DBC=90°，
∵∠AFD=∠BFE，
∴∠CAE+∠AFD=90°，
∴∠ADF=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，垂直定义的应用，能求出Rt△AEC≌Rt△BEF是解此题的关键．