Question

14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O是BC的中点，D在AB上，E在AC上，若∠DOE=60°．求证：AD+AE=$\frac{1}{2}$AB．

Answer 1

分析 取AB的中点M，连接OM，AO，根据等腰三角形的性质得出∠BAO=∠CAO=60°，AO⊥BC，根据直角三角形斜边上中线性质得出OM=AM=BM，求出△AOM是等边三角形，推出AO=OM，∠AOM=60°，∠DMO=∠OAE=60°，求出∠AOE=∠MOD，根据ASA推出△AOE≌△MOD，根据全等得出AE=DM，即可得出答案．

解答 证明：如图：
取AB的中点M，连接OM，AO，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠BAO=∠CAO=60°，AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∴OM=AM=BM，
∵∠OAM=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AO=OM，∠AOM=60°，∠DMO=∠OAE=60°，
∵∠DOE=60°，
∴∠AOM=∠DOE，
∴都减去∠AOD得：∠AOE=∠MOD，
在△AOE和△MOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠MOD}\\{AO=MO}\\{∠EAO=∠DMO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△MOD（ASA），
∴AE=DM，
∴AE+AD=AM，
∵AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD+AE=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．