Question

6．如图，等腰△ABC，AB=AC，D是BC边上一点，射线CE∥AB，且AD=DE，
（1）若∠ABC=60°，则∠ADE=60°；若∠ABC=45°，则∠ADE=90°．
（2）猜想∠ABC与∠ADE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据∠ABC的度数求出∠ADE，具体过程同（2）；
（2）延长EC到A′，使得A′C=AC，根据平行线的性质得到∠A'CD=∠B，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACD，等量代换得到∠ACB=∠A′CD，推出△ACD≌△A′CD，根据全等三角形的性质得到A′D=AD，∠DAC=∠DA′C，由等腰三角形的性质得到A′D=DE，证得△DAO∽△OEC，根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠OCE由三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）当∠ABC=60°时，则∠ADE=60°，当∠ABC=45°时，则∠ADE=90°，
故答案为：60°，90°；

（2）∠ADE=180°-2∠ABC，
理由：延长EC到A′，使得A′C=AC，
∵CE∥AB，
∴∠A′CD=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∴∠ACB=∠A′CD，
在△ACD与△A′CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=A′C}\\{∠ACD=∠A′CD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△A′CD，
∴A′D=AD，∠DAC=∠DA′C，
∵AD=DE，
∴A′D=DE，
∴∠DA′C=∠DEC，
∴∠DAC=∠DEC，
∴△DAO∽△OEC，
∴∠ADE=∠OCE
∵AB∥CE，
∴∠OCE=∠BAC，
∵∠BAC=180°-2∠ABC，
∵∠ADE=180°-2∠ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．