Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y=x+1与直线l₂：y=kx+3交于点A，分别交x轴于点B和点C（4，0），点D是直线l₂上的一个动点，
（1）求k的值和点A、B的坐标；
（2）若${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}$，求点D的坐标；
（3）若△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得函数解析式，把两条直线联立起来组成方程组，解方程组可得到A点坐标；再把y=0分别代入函数解析式可确定B点坐标；
（2）设出点D的坐标，根据${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}$，列出方程解决问题；
（3）分类讨论：当DB=DC，则求得D点的横坐标，然后代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可确定D点的纵坐标；当BC=BD=5，设D点坐标为（x、y），然后利用勾股定理建立等量关系求解．

解答 解：（1）将点C（4，0）代入y=kx+3，得4k+3=0，
$k=-\frac{3}{4}$，
直线l₂的解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-\frac{3}{4}x+3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{7}\\ y=\frac{15}{7}\end{array}\right.$，即$A（\frac{8}{7}，\frac{15}{7}）$，
由y=x+1，当y=0 时，x=-1，即B（-1，0）；
（2）设点D的坐标为$（m，-\frac{3}{4}m+3）$，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•|{y_A}|=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{7}=\frac{75}{14}$，
当${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}=\frac{14}{15}×\frac{75}{14}=5$时，
即$\frac{1}{2}BC•|{-\frac{3}{4}m+3}|=5$
$|{-\frac{3}{4}m+3}|=2$，解得$m=\frac{4}{3}$或$m=\frac{20}{3}$，
当${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}$时，点D的坐标为$（\frac{4}{3}，2）$或$（\frac{20}{3}，-2）$；
（3）①当BD=BC=5时，
即$\sqrt{{{（m+1）}^2}+{{（-\frac{3}{4}m+3）}^2}}=5$，
化简得5m²-8m-48=0，
即（m-4）（5m+12）=0，
解得：m₁=4（此时点D与C重合，舍去），${m_2}=-\frac{12}{5}$；
②当CD=BC=5时，
即$\sqrt{{{（m-4）}^2}+{{（-\frac{3}{4}m+3）}^2}}=5$，
化简得m（m-8）=0，
m₃=0，m₄=8；
③当BD=CD时，${m_5}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$，
综上所述，当△CBD为等腰三角形时，点D的坐标为$（-\frac{12}{5}，\frac{24}{5}）$，（0，3），$（\frac{3}{2}，\frac{15}{8}）$，（8，-3）．

点评 此题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．