Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．

（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；
（2）若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

（1）△ABE∽△ADF，理由见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）根据两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；
（2）由（1）的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形.
试题解析：（1）△ABE∽△ADF．理由如下：
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF．
（2）∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG．∴∠AGB＝∠AHD．
∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG＝∠DAH．
∴∠BAG≌∠DAH．∴AB＝AD .
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形．