Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．

（1）试说明四边形AECG是平行四边形；
（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形?

Answer 1

（1）说明详见解析；（2）.

试题分析：本题考查的知识点较多，有矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的性质、翻折变换（轴对称）等知识点.灵活掌握和应用这些性质、定理是解题的关键.
因为对折，所以 ,，又,可得AG//CE,即可得出四边形AECG是平行四边形.
由菱形的定义之可知F，H两点重合，可得出AC=2BC,由此可计算边BC的长.
试题解析：
解：（1）由题意，得∠GAH=∠DAC, ∠ECF=∠BCA（1分）
∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC＝∠BCA
∴∠GAH=∠ECF
∴AG∥CE（2分）
又∵AE∥CG
∴四边形AECG是平行四边形.
∵四边形AECG是菱形
∴F、H重合
∴AC＝2BC（4分）
在Rt△ABC中,设BC＝x,则AC＝2x
在Rt△ABC中
即，
解得x＝，(x=舍去）
即线段BC的长为cm.