Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，求BD的长．

Answer 1

分析 Rt△ABC中，根据特殊锐角三角函数值可求得AB=2$\sqrt{3}$，然后由翻折的性质可求得∠AEF=60°，从而可求得∠EAF=30°，故此AE=2EF，由翻折的性质可知：BE=EF，故此AB=3BE，所以EB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最后在Rt△BED中利用特殊锐角三角函数值即可求得BD的长．当点F在BC的延长线上时，∠AEF=90°，然后依据角平分线的性质可得到ED=AE，然后再证明△BED∽△BAC，最后依据相似三角形的性质求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=$\frac{BC}{cosB}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠B=30°，DE⊥BC，
∴∠BED=60°．
由翻折的性质可知：∠BED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°．
∵△AEF为直角三角形，
∴∠EAF=30°．
∴AE=2EF．
由翻折的性质可知：BE=EF，
∴AB=3BE．
∴EB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
BD=EB•cosB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
当点F在BC的延长线上时．
∵△AEF为直角三角形，
∴∠EAF=90°，
∴∠EFA=30°．
∴∠EFD=∠EFA．
又∵ED⊥BF，EA⊥AF，
∴AE=DE．
∵BC=3，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$，
设DE=x，BE=2$\sqrt{3}$-x．
∵DE∥AC，
∴$\frac{ED}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$，
解得，x═$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
BD=$\frac{DE}{tanB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=2，
∴BD的长为1或2时，△AEF为直角三角形．

点评 本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键．