Question

如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3

2

，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=

AE

EC

，求出EC的长即可；
（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．

解答：解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，∵sinB=

AE

AB

，
∴AE=ABsinB=3

2

sin45°=3

2

×

2

2

=3，
∵∠B=45°，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AE=3，
在Rt△ACE中，
∵tan∠ACB=

AE

EC

，
∴EC=

AE

tan∠ACB

=

3

tan60°

=

3

3

=

3

，
∴BC=BE+EC=3+

3

；

（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，
由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=

3

，
∴AC=2

3

，
∵∠D=∠M=60°，
∴sin60°=

AC

AM

=

2 3

AM

=

3

2

，
解得：AM=4，
∴⊙O的半径为2．

点评：此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．