Question

△ABC中，∠A=a，

（1）若∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，如图（1），求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC，∠ACB的外角平分线相交于O，如图（2），求∠BOC的度数；
（3）若∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于O，如图（3），求∠BOC的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的角平分线、中线和高,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据∠A的度数，表示出另外两角的和，然后求出它们和的一半，利用三角形内角和定理求得即可；
（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两个角的和，求出它们的一半，利用三角形内角和定理表示出来即可；
（3）根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．

解答：解：（1）∵∠A=a，
∴∠B+∠C=180°-a=180°-a，
∵OB、OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（180°-a）
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（180°-a）=90°+

1

2

a；

（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=180°+∠A
=180°+a，
∵OB，OC分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

（180°+a），
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-

1

2

a；

（3）∵∠ACE=∠A+∠ABC且BO，CO分别是△ABC内角∠ABC与外角∠ACE的角平分线，
∴∠OCB+∠OBC=

1

2

∠ABC+∠ACB+

1

2

∠ACE=180°-

1

2

a，
∴∠O=180°-（∠OCB+∠OBC）
=180°-（180°-

1

2

a）
=

1

2

a．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．