【题目】如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
【答案】(1)
(2)在,理由略
(3)M的坐标为(, )
【解析】试题分析:(1)已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程,可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)首先求出AB的长,将A、B的坐标向右平移AB个单位,即可得出C、D的坐标,再代入抛物线的解析式中进行验证即可.
(3)根据C、D的坐标,易求得直线CD的解析式;那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差,可将x=t代入两个函数的解析式中,得出的两函数值的差即为l的表达式,由此可求出l、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出l取最大值时,点M的坐标.
解:(1)∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上,
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m
∵点B(0,4)在此抛物线上,
∴4=×+m
∴m=﹣
∴所求函数关系式为:y=﹣=﹣x+4
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∴AB==5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0);
当x=5时,y=×52﹣×5+4=4
当x=2时,y=×22﹣×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上;
(3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′,
则;
解得:;
∴y=x﹣
∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,
∴N点的横坐标也为t;
则yM=﹣t+4,yN=t﹣,
∴l=yN﹣yM=t﹣﹣(﹣t+4)=﹣+t﹣=﹣+
∵﹣<0,
∴当t=时,l最大=,yM=﹣t+4=.
此时点M的坐标为(,).
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0;
②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n<;④3|a|+|c|<2|b|.其中正确的结论个数是( )
A. ①③④ B. ①③ C. ①④ D. ②③④
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E为边BC的上一动点,作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点,连PC
(1)若点E为BC的中点,求证:F点为DC的中点;
(2)若点E为BC的中点,PE=6,PC=4 ,求PF的长;
(3)若正方形边长为4,直接写出PC的最小值 .
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【题目】在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%,口袋中白色球很可能是( ).
A.6个B.16个C.18个D.24个
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【题目】小明和妹妹做游戏:在一个不透明的箱子里放入20张纸条(除所标字母外其余相同),其中12张纸条上字母为A,8张纸条上的字母为B,将纸条摇匀后任意摸出一张,如果摸到纸条上的字母为A,则小明胜;如果摸到纸条上的字母为B,则妹妹胜。
(1)这个游戏公平吗?请说明理由;
(2)若妹妹在箱子中再放入3张与前面相同的纸条,所标字母为B,此时这个游戏对谁有利?
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③﹣1≤a≤﹣;④4ac﹣b2>8a;其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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【题目】某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
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【题目】微信抢红包活动已经超越了红包本身,成为我们中国人春节前后释放情感、满足心理诉求和社交的重要载体,2019年除夕到初五期间,共有8.23亿人次收发微信红包同比增长7.12%,用科学记数法表示8.23亿这个数为( )
A.8.23×107B.8.23×108C.8.23×109D.0.83×109
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