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【题目】如图,RtABO的两直角边OAOB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,AB两点的坐标分别为(0)、(04),抛物线经过B点,且顶点在直线上.

1)求抛物线对应的函数关系式;

2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;

3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点MMN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为tMN的长度为l.求lt之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.

【答案】(1

2)在,理由略

3M的坐标为(

【解析】试题分析:(1)已知了抛物线上AB点的坐标以及抛物线的对称轴方程,可用待定系数法求出抛物线的解析式.

2)首先求出AB的长,将AB的坐标向右平移AB个单位,即可得出CD的坐标,再代入抛物线的解析式中进行验证即可.

3)根据CD的坐标,易求得直线CD的解析式;那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差,可将x=t代入两个函数的解析式中,得出的两函数值的差即为l的表达式,由此可求出lt的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出l取最大值时,点M的坐标.

解:(1抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上,

可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m

B04)在此抛物线上,

∴4=×+m

∴m=﹣

所求函数关系式为:y==x+4

2)在Rt△ABO中,OA=3OB=4

∴AB==5

四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5

∴CD两点的坐标分别是(54)、(20);

x=5时,y=×52×5+4=4

x=2时,y=×22×2+4=0

C和点D在所求抛物线上;

3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′

解得:

∴y=x﹣

∵MN∥y轴,M点的横坐标为t

∴N点的横坐标也为t

yM=t+4yN=t﹣

∴l=yN﹣yM=t﹣t+4=﹣+t﹣=﹣+

∵﹣0

t=时,l最大=yM=t+4=

此时点M的坐标为().

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