Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，BD是∠B的平分线．
（1）设∠ADB的度数为m，∠A的度数为n，求4m+3n的值．
（2）如果∠A=100°，求证：AD+BD=BC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=$\frac{180°-n}{2}$，由角平分线的定义得到$∠DBC=\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{180°-n}{4}$，然后根据外角的性质列方程即可得到结果；
（2）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，易证△ABD≌△ACD'，可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，即可求得A'D'=AD'，即可解题．

解答 （1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-n}{2}$，
∵BD是∠B的平分线，
∴$∠DBC=\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{180°-n}{4}$，
∵∠ADB=∠C+∠DBC，
∴$\frac{180°-n}{2}$+$\frac{180°-n}{4}$=m，
∴4m+3n=540°；

（2）证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，
∵A'B=A'C，AB=AC，
∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
在△ABD和△ACD'中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACD′}\\{BD=CD′}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，本题中求证△ABD≌△ACD'是解题的关键．