Question

某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）利用长方形的周长公式即可解答；
（2）利用长方形的面积列方程解答即可；
（3）设长方形的面积为S，利用面积计算方法列出二次函数，用配方法求最大值解答问题．

解答：解：（1）由题意可知BC为x米，
则AB=

40-x

2

=20-

x

2

，
∵矩形ABCD的面积=AB×BC，
∴y=（20-

x

2

）x=20x-

1

2

x²=-

1

2

x²+20x，
自变量x的取值范围为：0＜x≤15；

（2）能达到，
由题意知，当y=150时，-

1

2

x²+20x=150，
解得：x₁=10，x₂=30（不合题意，舍去），
故x=10时，花园面积能达到150平方米；

（3）∵a=-

1

2

＜0，
当0＜x≤15时，y随x的增大而增大，
∴当x=15时，
y取最大值是-

1

2

×15²+20×15=187.5，
答：当x是15米时，矩形场地面积y最大，最大面积是187.5平方米．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意利用墙长15m判定是否符合题意．