Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．若△PDE为直角三角形，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：分类讨论

分析：如图，作辅助线；求出cos∠B=

3

5

；证明△BDP∽△CPE，

BD

PC

=

PD

PE

，而PC=6-2=4，得到BD=4×

PD

PE

；运用分类讨论的数学思想求出

PD

PE

的值，即可解决问题．

解答：解：如图，过点A作AF⊥BC于点F；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，BF=CF=3；cos∠B=

3

5

；
而∠DPE=∠B，
∴∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠EPC，
∴∠BDP=∠EPC，
∴△BDP∽△CPE，
∴

BD

PC

=

PD

PE

，而PC=6-2=4，
∴BD=4×

PD

PE

；
若∠PDE=90°，则cos∠DPE=cos∠B=

PD

PE

=

3

5

，
∴BD=

12

5

；
若∠PED=90°，则cos∠DPE=cos∠B=

PE

PD

=

3

5

，
∴BD=

20

3

，
故答案为

12

5

或

20

3

．

点评：该题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及其性质等几何问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．