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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧

(1)求a的值及点A,B的坐标;

(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;

(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由

【答案】(1)A(-4,0),B(2,0);(2)y=2x+2或;(3)存在,N(- 1)

【解析】

试题分析:(1)把点C代入抛物线解析式即可求出a,令y=0,列方程即可求出点A、B坐标.

(2)先求出四边形ABCD面积,分两种情形:①当直线l边AD相交与点M1时,根据SAHM1×10=3,求出点M1坐标即可解决问题.②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2坐标.

(3)设P()、Q(且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,得到b=k,利用方程组求出点M坐标,求出直线DN解析式,再利用方程组求出点N坐标,列出方程求出k,即可解决问题.

试题解析:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,),a﹣3=,解得:,∴

当y=0时,有 ,∴A(﹣4,0),B(2,0).

(2)∵A(﹣4,0),B(2,0),C(0,),D(﹣1,﹣3)

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC==10.

从面积分析知,直线l只能与边AD或BC相交,所以有两种情况:

①当直线l边AD相交与点M1时,则SAHM1×10=3,∴×3×(-yM1)=3,yM1=-2,点M1(﹣2,﹣2),过点H(﹣1,0)和M1(﹣2,﹣2)的直线l的解析式为y=2x+2.

②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2,﹣2),过点H(﹣1,0)和M2(,﹣2)的直线l的解析式为

综上所述:直线l的函数表达式为y=2x+2或

(3)设P()、Q(且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,∴﹣k+b=0,∴b=k,∴y=kx+k.

,∴,∵点M是线段PQ的中点,∴由中点坐标公式的点M(

假设存在这样的N点如图,直线DN∥PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3解得: N().

∵四边形DMPN是菱形,∴DN=DM,∴,整理得: >0,,解得,∵k<0,∴,∴P(-6),M(-2),N(- 1),PM=DN=,∵PM∥DN,∴四边形DMPN是平行四边形,∵DM=DN,∴四边形DMPN为菱形,∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形,此时点N的坐标为(﹣,1).

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