【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物线于P,Q两点,点Q在y轴的右侧.
(1)求a的值及点A,B的坐标;
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3:7的两部分时,求直线l的函数表达式;
(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形?若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1),A(-4,0),B(2,0);(2)y=2x+2或;(3)存在,N(-, 1).
【解析】
试题分析:(1)把点C代入抛物线解析式即可求出a,令y=0,列方程即可求出点A、B坐标.
(2)先求出四边形ABCD面积,分两种情形:①当直线l边AD相交与点M1时,根据S△AHM1=×10=3,求出点M1坐标即可解决问题.②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2坐标.
(3)设P(,)、Q(,)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,得到b=k,利用方程组求出点M坐标,求出直线DN解析式,再利用方程组求出点N坐标,列出方程求出k,即可解决问题.
试题解析:(1)∵抛物线与y轴交于点C(0,),∴a﹣3=,解得:,∴
当y=0时,有,∴ ,,∴A(﹣4,0),B(2,0).
(2)∵A(﹣4,0),B(2,0),C(0,),D(﹣1,﹣3)
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC==10.
从面积分析知,直线l只能与边AD或BC相交,所以有两种情况:
①当直线l边AD相交与点M1时,则S△AHM1=×10=3,∴×3×(-yM1)=3,∴yM1=-2,点M1(﹣2,﹣2),过点H(﹣1,0)和M1(﹣2,﹣2)的直线l的解析式为y=2x+2.
②当直线l边BC相交与点M2时,同理可得点M2(,﹣2),过点H(﹣1,0)和M2(,﹣2)的直线l的解析式为.
综上所述:直线l的函数表达式为y=2x+2或.
(3)设P(,)、Q(,)且过点H(﹣1,0)的直线PQ的解析式为y=kx+b,∴﹣k+b=0,∴b=k,∴y=kx+k.
由,∴,∴,,∵点M是线段PQ的中点,∴由中点坐标公式的点M(,).
假设存在这样的N点如图,直线DN∥PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3,由,解得:, , ∴N(,).
∵四边形DMPN是菱形,∴DN=DM,∴,整理得:,,∵ >0,∴,解得,∵k<0,∴,∴P(-,6),M(-,2),N(-, 1),∴PM=DN=,∵PM∥DN,∴四边形DMPN是平行四边形,∵DM=DN,∴四边形DMPN为菱形,∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形,此时点N的坐标为(﹣,1).
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【题目】如图,四边形ABCD是长方形(长方形对边相等且平行,四个角为直角),
(1)用直尺和圆规在边CD上找一个点P,使△ADP沿着直线AP翻折后D点正好落在BC边上的Q点(不写作法,保留作图痕迹).连结AP,AQ,PQ
(2)在(1)中作的新图形中,已知AB=5,AD=13,求CP的长.
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【题目】小明买了80分和2元的邮票共16枚,花了18元8角,若设他买了80分的邮票x枚,则可列方程( )
A. 80x+2(16–x)=188 B. 80x+2(16–x)=18.8
C. 0.8x+2(16–x)=18.8 D. 8x+2(16–x)=188
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线相交于A(1,),B(4,0)两点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此时点M的坐标.
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【题目】4月24日是中国航天日.1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点439000米,将439000用科学记数法表示应为( )
A.0.439×106B.4.39×106C.4.39×105D.439×103
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【题目】要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个拟定方案中,正确的方案是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否互相垂直
D.测量其中三个角是否是直角
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