Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（2，0），B（6，0），C（0，6），其对称轴交x轴于M点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上一点，且满足 S_△ACP=S_△ABP，求P点坐标；
（3）抛物线对称轴是否存在点Q，使△BCQ与△AOC相似？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将三点代入抛物线，利用待定系数法可确定抛物线解析式；
（2）分两种情况讨论，①点P在第四象限，②点P在第一象限，再由S_△ACP=S_△ABP，y与x的函数关系式，结合抛物线解析式可得x、y的值，也可利用作平行线的方法求解；
（3）在本题的求解过程中，可先将△BCQ与△AOC相似，利用对应边成比例求Q的坐标．

解答：解：（1）将A（2，0），B（6，0），C（0，6），代入抛物线y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c=0 36a+6b+c=0 c=6

，
解得：

a= 1 2 b=-4 c=6

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-4x+6；

（2）方法一：
如图1，P在第四象限时，过P点作PD⊥y轴于D，设P（x，y），
由S_△CDP-S_△COA-S_梯形AODP=S_△ABP得，

1

2

x(6-y)-

1

2

(-y)(2+x)-6=-2y，
∴y=-x+2，
∴-x+2=

1

2

x²-4x+6，
解得：x=4或x=2（舍去），
∴P（4，-2）
同理，当P在第一象限时，P（12，30）
∴P₁（4，-2），P₂（12，30）；

方法二：P在第四象限时，过A点作AP∥BC交抛物线于P点，
易得P（4，-2）
P在第一象限时，取BC中点E，作直线AE交抛物线于P，
易得P（12，30），
∴P₁（4，-2），P₂（12，30）；

（3）如图2，过B点作BQ⊥BC，交抛物线对称轴于Q点，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠CBO=45°=∠QBO，
∴BM=MQ=2，
计算可得BC=6

2

，BQ=2

2

，
在△AOC与△QBC中，
∵

OC

BC

=

1

2

=

OA

BQ

，
∠AOC=90°=∠QBC，
∴△AOC∽△QBC，
由

1

2

x2-4x+6=-2，
解得x₁=x₂=4，
∴Q（（4，-2），
同理，过C作CQ₁⊥BC交MQ于Q₁，可验证△AOC与△QBC的边不对应成比例，
故Q₁不满足条件；
以BC为直径作圆交MQ于Q₂，Q₃，经验证均不满足条件，
∴存在唯一满足条件的Q点，Q（（4，-2）．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、相似三角形的相似与性质，综合性较强，难度较大，解答此类题目关键是数形结合、分类讨论思想的运用．