Question

13．已知：x_n，x′_n是关于x的方程a_nx²-4a_nx+4a_n-n=0（a_n＞a_n+1）的两个实数根，x_n＜x′_n，其中n为正整数．且a₁=1．
（1）x′₁-x₁的值为2
（2）当n分别取1、2、…、2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列．相邻两数的差恒为（x′₁-x₁）的值，则x′₂₀₁₃-x₂₀₁₂=6．

Answer 1

分析 （1）当n=1，a₁=1，方程为程x²-4x+3=0，利用因式分解法得到x₁=1，x₁′=3，则x′₁-x₁=2；
（2）由于2013个方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列．相邻两数的差恒为2，则这些根为1，3，5，7，9，11，…，然后理解x′₂₀₁₃为第2013个方程较大的解，x₂₀₁₂为第2012个方程较小的解，从而可得到x′₂₀₁₃-x₂₀₁₂的值．

解答 解：（1）当n=1，a₁=1，x₁，x′₁是关于x的方程x²-4x+3=0的两个实根，解得x₁=1，x₁′=3，
所以x′₁-x₁=3-1=2；
（2）∵x′₁-x₁=2，
∴当n分别取1、2、…、2013时，相对应的2013个方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列为
1，3，5，7，9，11，…，
∵x′₂₀₁₃为第2013个方程较大的解，x₂₀₁₂为第2012个方程较小的解，
∴x′₂₀₁₃和x₂₀₁₂相差6，
即x′₂₀₁₃-x₂₀₁₂=6．
故答案为2，6．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．解决本题的关键是确定每个方程的根的特点．