Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与B，C两点重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点F，设点P的横坐标为m（0＜m＜3）

（1）当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；

（2）设△BCF的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m=2（2）

【解析】试题分析：（1）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长． 根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．

（2）可将△BCF分成两部分来求：一部分是△PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出△PFC的面积． 一部分是△PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出△PFB的面积． 然后根据△BCF的面积=△PFC的面积+△PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．

解：（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D（1，4）

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

则A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；

设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

∴DE=4﹣2=2，

∵PF⊥x轴，

∴P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），

∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），

当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

（2）∵B（3，0），

∴OB=3，

∴S=PFOB=×3（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），

则当m=时，S取得最大值为．