Question

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，E为BC上一动点，已知AB=1，CD=3．

（1）若S_△CDE：S_{四边形ABED}=3：2，求$\frac{BE}{CE}$的值．
（2）若BE：CE=1：4，∠CDE=2∠BAE，求AD的长．
（3）若AD=4，以AE、DE为边作?AEDF，直接写出线段EF长度的取值范围为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤EF＜2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S_△ABD：S_△BCD=1：3，然后设S_△ABD=S，S_△BDE=x，再根据S_△CDE：S_{四边形ABED}列式整理并用S表示出x，再表示出S_△CDE，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解即可；
（2）延长AE交DC于F，取AF的中点G，连DG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=FG，利用等边对等角可得∠F=∠FDG，再求出∠F=∠BAE，然后求出∠F=∠EDG，从而得到△DEG和△FED相似，设AF=5x，表示出FG，根据相似三角形对应边成比例表示出DE，再列式求解得到DG，从而求出AF，然后根据△ABE和△FCE相似求出CF，从而求出DF，最后在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求解即可；
（3）根据平行四边形对角线互相平分可得EF必过AD的中点，设AD的中点为O，连接OB、OC，求出OD，再利用勾股定理列式求出OC，即为OE的最大值，根据垂线段最短可得OE⊥BC时OE最小，过点B作BG⊥CD于G，求出DG，再求出CG，然后利用勾股定理列式求出BC，过点O作OE⊥BC于E，利用△BCG的面积列方程求出OE，然后利用平行四边形的对角线互相平分求解即可，最后根据EF的最大值与最小值写出范围．

解答 解：（1）如图，连接BD，∵AB∥CD，AD⊥CD，AB=1，CD=3，
∴S_△ABD：S_△BCD=1：3，
设S_△ABD=S，S_△BDE=x，则S_△CDE：S_{四边形ABED}=（3S-x）：（S+x）=3：2，
解得x=$\frac{3}{5}$S，
所以，S_△CDE=3S-$\frac{3}{5}$S=$\frac{12}{5}$S，
∵△BDE和△CDE底边BE、CE上的高相等，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\frac{3}{5}S}{\frac{12}{5}S}$=$\frac{1}{4}$；

（2）延长AE交DC于F，取AF的中点G，连DG，
∵AD⊥CD，
∴DG=FG，
∴∠F=∠FDG，
∵AB∥CD，
∴∠F=∠BAE，
∴∠F=∠EDG，
又∵∠CDE=2∠BAE，
∴∠EDG=∠F，
又∵∠DEG=∠FED，
∴△DEG∽△FED，
设AF=5x，则FG=$\frac{5}{2}$x，
∵AB∥CD，BE：CE=1：4，
∴AE：EF=1：4，
∴AE=$\frac{1}{1+4}$×5x=x，
EF=$\frac{4}{1+4}$×5x=4x，
∴EG=EF-FG=4x-$\frac{5}{2}$x=$\frac{3}{2}$x，
∵△DEG∽△FED，
∴$\frac{DE}{EF}$=$\frac{EG}{DE}$，
即$\frac{DE}{4x}$=$\frac{\frac{3}{2}x}{DE}$，
解得DE=$\sqrt{6}$x，
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{EG}{DE}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
解得DG=$\frac{7\sqrt{6}}{4}$，
∴AF=2DG=$\frac{7\sqrt{6}}{2}$，
∵AB=1，AB∥CD，BE：CE=1：4，
∴AB：CF=1：4，
∴CF=4，
∴DF=CD+CF=3+4=7，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7\sqrt{6}}{2}）^{2}-{7}^{\;}}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$；

（3）∵以AE、DE为边作?AEDF，
∴EF必过AD的中点，
设AD的中点为O，连接OB、OC，
则OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即OE的最大值为$\sqrt{13}$，
∴EF的最大值=2OE=2$\sqrt{13}$，
由垂线段最短得OE⊥BC时OE最小，
过点B作BG⊥CD于G，则DG=AB=1，
所以，CG=CD-DG=3-1=2，
由勾股定理得，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
过点O作OE⊥BC于E，则S_△BCG=$\frac{1}{2}$BC•OE=$\frac{1}{2}$（AB+CD）•AD-$\frac{1}{2}$AB•AO-$\frac{1}{2}$CD•DO，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$•OE=$\frac{1}{2}$（1+3）•4-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×3×2，
解得OE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
所以，EF的最小值是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵E为BC上一动点，
∴点E不与BC重合，
∴EF的取值范围是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤EF＜2$\sqrt{13}$．
故答案为：（3）$\frac{8\sqrt{5}}{5}$≤EF＜2$\sqrt{13}$

点评 本题是四边形综合题型，主要利用了等高的三角形的面积的比等于底边的比，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造出相似三角形，（3）根据平行四边形对角线互相平分确定出EF的一半的线段的位置．