Question

【题目】问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．

（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．
求证：HF=AH+CF．
小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．
请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；
（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的运动速度之比是 ：1，求 的值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记 =m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示 （直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer 1

【答案】
（1）

证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示：

则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠ADG=∠AGD=∠A，

∴△ADG是等边三角形，

∴GD=AD=CE，

∵DH⊥AC，

∴GH=AH，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF

（2）

解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示：

则∠ADG=∠B=90°，

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴∠HGD=∠HDG=60°，

∴AH=GH=GD，AD= GD，

根据题意得：AD= CE，

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF，

∴ =2；

（3）

解： ，理由如下：

过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：

则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，

∵∠ADH=∠BAC=36°，

∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，

∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

∴ =m， =m，

∴△DGH∽△ABC，

∴ =m，

∴ =m，

∵DG∥BC，

∴△DFG∽△EFC，

∴ =m，

∴ =m，

即 =m，

∴ = ，

∴ = = = ．

【解析】（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出GD=AD=CE，再证明GH=AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH=GH=GD，AD= GD，由题意AD= CE，得出GD=CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出 DG=DH=AH，再证明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，△DGH∽△ABC，得出 =m， =m，证明△DFG∽△EFC，得出 =m， =m， = ，即可得出结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．