如图.经过原点的抛物线y=-x2-2mx与x轴的另一个交点为A．过点P作直线PD⊥x轴于点D.交抛物线于点B.BC∥x轴交抛物线于点C．(1)当m=2时．①求线段BC的长及直线AB所对应的函数关系式,②若动点Q在直线AB上方的抛物线上运动.求点Q在何处时.△QAB的面积最大?③若点F在坐标轴上.且PF=PC.请直接写出符合条件的点F在坐标,(2)当m＞1时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，经过原点的抛物线y=-x²-2mx（m＞1）与x轴的另一个交点为A．过点P（-1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，BC∥x轴交抛物线于点C．

（1）当m=2时．
①求线段BC的长及直线AB所对应的函数关系式；
②若动点Q在直线AB上方的抛物线上运动，求点Q在何处时，△QAB的面积最大？
③若点F在坐标轴上，且PF=PC，请直接写出符合条件的点F在坐标；
（2）当m＞1时，连接CA、CP，问m为何值时，CA⊥CP？

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）①将m=2代入y=-x²-2mx，得出y=-x²-4x，求出A（-4，0），B（-1，3），由B、C两点关于抛物线y=-x²-4x的对称轴x=-2对称，得出BC=2，运用待定系数法求出直线AB所对应的函数关系式；
②过点Q作QE∥y轴，交AB于点E，设Q（a，-a²-4a），则E（a，a+4），QE=（-a²-4a）-（a+4）=-a²-5a-4，由S_△QAB=

QE•AD求出S_△QAB=-

（a+

）²+

，根据二次函数的性质即可求解；
③分两种情况进行讨论：若点F在x轴上，设F（x，0）．根据PF=PC列出方程，解方程得到F₁（-2，0），F₂（0，0）；若点F在y轴上，设F（0，y），根据PF=PC列出方程，解方程得到F₃（0，4），F₄（0，0）与F₂（0，0）重合；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H．先求出PB=m-1，BC=2（m-1），CH=2m-1，AH=1，再证明△ACH∽△PCB，根据相似三角形对应边成比例得出

，即

m-1

2m-1

2(m-1)

，解方程可求出m的值．

解答：解：（1）①当m=2时，y=-x²-4x，
令y=0，得-x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=-4，
则A（-4，0）．
当x=-1时，y=3，
则B（-1，3）．
∵抛物线y=-x²-4x的对称轴为直线x=-2，
∴B、C两点关于对称轴x=-2对称，
∴C（-3，3），BC=2．
设直线AB所对应的函数关系式为y=kx+b．
∵A（-4，0）、B（-1，3）在直线AB上，
∴

0=-4k+b

3=-k+b .

，
解得

k=1

b=4 .

∴直线AB所对应的函数关系式为y=x+4；

②过点Q作QE∥y轴，交AB于点E（如图1）．
由题意可设Q（a，-a²-4a），则E（a，a+4），
∴QE=（-a²-4a）-（a+4）=-a²-5a-4．
∴S_△QAB=

QE•AD
=

×（-a²-5a-4）×3
=-

（a+

）²+

，
∴当a=-

时，△QAB的面积最大，此时Q的坐标为（-

，

）；
③分两种情况：
若点F在x轴上，设F（x，0）．
∵PF=PC，P（-1，2），C（-3，3），
∴（x+1）²+（2-0）²=（-3+1）²+（3-2）²，
整理，得x²+2x=0，
解得x₁=-2，x₂=0，
∴F₁（-2，0），F₂（0，0）；
若点F在y轴上，设F（0，y）．
∵PF=PC，P（-1，2），C（-3，3），
∴（0+1）²+（y-2）²=（-3+1）²+（3-2）²，
整理，得y²-4y=0，
解得y₁=4，y₂=0，
∴F₃（0，4），F₄（0，0）与F₂（0，0）重合；
综上所述，符合条件的点F坐标为F₁（-2，0），F₂（0，0），F₃（0，4）；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图2）．
∵P（-1，m），B（-1，2m-1），
∴PB=m-1．
∵抛物线y=-x²-2mx的对称轴为直线x=-m，其中m＞1，
∴B、C两点关于对称轴x=-m对称，
∴BC=2（m-1），
∴C（1-2m，2m-1），H（1-2m，0），
∴CH=2m-1，
∵A（-2m，0），
∴AH=1．
由已知，得∠ACP=∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠PCB．
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB，
∴

，即

m-1

2m-1

2(m-1)

，
∴m=

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，两点间的距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．

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