Question

如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于E、F，AE=．
（1）求弧EF的长．
（2）若AD=，直线MN分别交DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，当MN和⊙O第一次相切时，求点D到直线MN的距离．
（3）若点D到直线MN的距离为4时，请直接写出⊙O和直线MN的位置关系．

Answer 1

解：（1）连接OE、OF．
∵AD、AB与⊙O相切于E、F，
∴OE⊥AD，OF⊥AB
∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴四边形OEAF是矩形．
∵OE=OF，
∴四边形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=，∠O=90°，
∴弧EF的长为：=；

（2）当MN和⊙O第一次相切时，设MN交AD于P，交BC于Q，连接OP，OE，过D作DG⊥MN于G．
∵MN∥PQ，
∴∠DMN=∠DPQ=60°，
∴∠APQ=120°．
∵PA和PQ与⊙O相切，
∴∠EPO=∠OPQ=60°．
在△OEP中，∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=，
∴EP=1，OP=2，
∴DP=AD-AE-EP=+5--1=4．
在△DPG中，∵∠DGP=90°，∠PDG=30°，
∴DG=PD•cos30°=2，
∴点D到直线MN的距离d为2；

（3）设点D到直线MN的距离为d．
由（2）知，当d=2时，直线MN与⊙O第一次相切，
∵⊙O的半径为，∴当d=4时，直线MN与⊙O第二次相切，
又∵2＜4＜4，
∴当d=4时，MN直线与⊙O相交．
分析：（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；
（2）当MN和⊙O第一次相切时，设MN交AD于P，交BC于Q，连接OP，OE，过D作DG⊥MN于G．先解直角△OEP，求出EP=1，OP=2，得出DP=4，再解直角△DPG，即可求出DG的长度；
（3）根据（2），可知MN和⊙O第一次相切时d的值，再结合⊙O的半径即可得出d为4时⊙O和直线MN的位置关系．
点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，弧长的计算，切线的性质及解直角三角形，综合性较强，难度中等．