Question

反比例函数y=

k

x

与一次函数y=kx+1交于点P（

1

2

，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若反比例函数与直线的另一个交点是Q，反比例函数上的一点M满足：∠PQM=60°，求M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,勾股定理,解直角三角形的应用

专题：计算题,综合题

分析：（1）由于点P在两个函数的图象上，因此点P的坐标满足两个函数解析式，只需把点P的坐标代入两个函数解析式，解出k和m，就可求出两个函数解析式．
（2）由于点P、点Q确定，∠PQM=60°，因此直线QM确定，要求点M的坐标，只需先求出直线QM的解析式，然后通过解方程（组）就可求出点M的坐标．如图2，在△ABQ中，∠AQB已知，AQ及tan∠QAB都可求，可以通过构建直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理求出AB长，进而求出该直线QM与y轴的交点B的坐标，然后求出直线QM的解析式，就可求出点M的坐标．

解答：解：（1）如图1，
∵点P（

1

2

，m）在反比例函数y=

k

x

与一次函数y=kx+1的图象上，
∴

k= 1 2 m 1 2 k+1=m

，
解得：

k= 2 3 m= 4 3

．
则反比例函数的解析式为y=

2

3x

，一次函数的解析式为y=

2

3

x+1．
（2）设直线PQ与y轴交于点A，直线QM与y轴交于点B．
过点Q作QC⊥y轴，垂足为C；
过点B作BD⊥AQ，垂足为D，如图2所示．
联立两函数解析式得：

y= 2 3x y= 2 3 x+1

，
解得：

x=-2 y=- 1 3

或

x= 1 2 y= 4 3

．
∴P（

1

2

，

4

3

）、Q（-2，-

1

3

）．
∵点A是直线y=

2

3

x+1与y轴的交点，
∴点A坐标为（0，1）．
在Rt△QCA中，
∵QC=2，AC=1-（-

1

3

）=

4

3

，
∴QA=

2 13

3

，tan∠QAC=

QC

AC

=

3

2

．
∵tan∠QAC=

QC

AC

=

3

2

＞1，
∴∠QAC＞45°．
∴∠AQC＜45°．
∵∠PQM=60°，
∴M只可能在第三象限．
在Rt△ADB中，
tan∠DAB=

DB

DA

=

3

2

．
在Rt△QDB中，
tan∠DQB=

DB

DQ

=tan60°=

3

．
设DA=2x，
则DB=3x，DQ=

3

x．
∵QA=QD+DA
═

3

x+2x
=

2 13

3

，
∴x=

2 13

3( 3 +2)

．
∵BD⊥AD，DA=2x，DB=3x
∴AB=

13

x=

52-26 3

3

．
∴OB=AB-OA=

49-26 3

3

．
∴点B的坐标为（0，-

49-26 3

3

）．
设直线QM的解析式为y=ax-

49-26 3

3

，
∵Q（-2，-

1

3

）在直线QM上，
∴-2a-

49-26 3

3

=-

1

3

，
∴a=

13 3 -24

3

．
∴直线QM的解析式为y=

13 3 -24

3

x-

49-26 3

3

．
设点M的坐标为（x，y），
∵点M是反比例函数y=

2

3x

图象与直线QB的一个交点，
∴y=

13 3 -24

3

x-

49-26 3

3

=

2

3x

．
整理得：（13

3

-24）x²-（49-26

3

）x-2=0．
则（x+2）[（13

3

-24）x-1]=0．
解得：x₁=-2，x₂=-

13 3 +24

69

．
∵点M与点Q不重合，
∴x≠-2．
∴x=-

13 3 +24

69

．
∴y=

2

3x

=

26 3 -48

3

．
∴点M的坐标为（-

13 3 +24

69

，

26 3 -48

3

）．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，考查了通过解方程组求一次函数与反比例函数图象的交点，考查了运用锐角三角函数和勾股定理解三角形，综合性比较强．通过解三角形求出AB长，从而求出直线QM与y轴交点B的坐标是解决第二小题的关键．