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    如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=
    1
    2
    x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
    （1）当m=
    		2
    时，求S的值．
    （2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
    （3）①若S=
    		3
    时，求
    AF
    BF
    的值；
    ②当m＞2时，设
    AF
    BF
    =k，猜想k与m的数量关系并证明．
    考点：二次函数综合题
    专题：综合题,压轴题
    分析：（1）首先可得点A的坐标为（m，
    1
    2
    m2），继而可得点E的坐标及BE、OE的长度，易得△ABE∽△CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解S的值；
    （2）分两种情况讨论，（I）当0＜m＜2时，将BE•DO转化为AE•BO，求解；（II）当m＞2时，由（I）的解法，可得S关于m的函数解析式；
    （3）①首先可确定点A的坐标，根据
    S△ADF
    S△BDF
    =
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AF
    BF
    =k，可得S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，从而可得
    S△ADE
    S△BDE
    =
    S△ADF-S△AEF
    S△BDF-S△BEF
    =
    k(S△BDF-S△BEF)
    S△BDF-S△BEF
    =k，代入即可得出k的值；
    ②可得
    S△ADE
    S△BDE
    =
    S△ADF+S△AEF
    S△BDF+S△BEF
    =
    k(S△BDF+S△BEF)
    S△BDF+S△BEF
    =k，因为点A的坐标为（m，
    1
    2
    m2），S=m，代入可得k与m的关系．
    解答：解：（1）∵点A在二次函数y=
    1
    2
    x2的图象上，AE⊥y轴于点E，且AE=m，
    ∴点A的坐标为（m，
    1
    2
    m2），
    当m=
    		2
    时，点A的坐标为（
    		2
    ，1），
    ∵点B的坐标为（0，2），
    ∴BE=OE=1．
    ∵AE⊥y轴，
    ∴AE∥x轴，
    ∴△ABE∽△CBO，
    ∴
    AE
    CO
    =
    BE
    BO
    =
    1
    2
    ，
    ∴CO=2
    		2
    ，
    ∵点D和点C关于y轴对称，
    ∴DO=CO=2
    		2
    ，
    ∴S=
    1
    2
    BE•DO=
    1
    2
    ×1×2
    		2
    =
    		2
    ；

    （2）（I）当0＜m＜2时（如图1），
    ∵点D和点C关于y轴对称，
    ∴△BOD≌△BOC，
    ∵△BEA∽△BOC，
    ∴△BEA∽△BOD，
    ∴
    BE
    AE
    =
    BO
    DO
    ，即BE•DO=AE•BO=2m．
    ∴S=
    1
    2
    BE•DO=
    1
    2
    ×2m=m；
    （II）当m＞2时（如图2），
    同（I）解法得：S=
    1
    2
    BE•DO=
    1
    2
    AE•OB=m，
    由（I）（II）得，
    S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．

    （3）①如图3，连接AD，
    ∵△BED的面积为
    		3
    ，
    ∴S=m=
    		3
    ，
    ∴点A的坐标为（
    		3
    ，
    3
    2
    ），
    ∵
    S△ADF
    S△BDF
    =
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AF
    BF
    =k，
    ∴S△ADF=k•S△BDF，S△AEF=k•S△BEF，
    ∴
    S△ADE
    S△BDE
    =
    S△ADF-S△AEF
    S△BDF-S△BEF
    =
    k(S△BDF-S△BEF)
    S△BDF-S△BEF
    =k，
    ∴k=
    S△ADE
    S△BDE
    =
    1
    2
    ×
    		3
    ×
    3
    2
    		3
    =
    3
    4
    ；
    ②k与m之间的数量关系为k=
    1
    4
    m2，
    如图4，连接AD，
    ∵
    S△ADF
    S△BDF
    =
    S△AEF
    S△BEF
    =
    AF
    BF
    =k，
    ∴S△ADF=k•S△BDF，S△AEF=k•S△BEF，
    ∴
    S△ADE
    S△BDE
    =
    S△ADF+S△AEF
    S△BDF+S△BEF
    =
    k(S△BDF+S△BEF)
    S△BDF+S△BEF
    =k，
    ∵点A的坐标为（m，
    1
    2
    m2），S=m，
    ∴k=
    S△ADE
    S△BDE
    =
    1
    2
    m•
    1
    2
    m2
    m
    =
    1
    4
    m2（m＞2）．
    点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大．
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    ．

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    A、
    B、
    C、
    D、

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    k
    x
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    1
    2
    ，m）．
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    1
    x-1
    -
    1
    x+1
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