Question

．(10分)如图9，正方形ABCD边长为10cm，P、Q分别是BC、CD上的两个动点，当P 点在BC上运动时，且A P⊥PQ.

（1）求证：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP等于多少时，四边形ABCQ的面积为62cm²．

Answer 1

（1）△ABP∽△PCQ，证明略。
（2）当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²

（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10，∠B=∠C=90°，
∵ AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴ ∠APB+∠CPQ=90°.
在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90°,∴∠BAP=∠CPQ . ∴ △ABP∽△PCQ .
（2）解法1：设BP=x. ∵ △ABP∽△PCQ，∴ ，,
∴ , ∴ .
整理，得x²-10x+24=0. 解得x₁=4，x₂=6.
∴ 当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²．
解法2：设BP=x. ∵ S_Rt△ADQ=S_{正方形ABCD}-S_{四边形ABCQ}=100-62=38.
∴ AD·DQ=38，∴ DQ=，∴ QC=CD-DQ=10-=
∵ △ABP∽△PCQ，∴ ，,
整理，得x²-10x+24=0. 解得x₁=4，x₂=6.
∴ 当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²．