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    如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且精英家教网抛物线对称轴为直线x=-3．
    （1）求该抛物线的函数表达式；
    （2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=
    25
    DF    ，求出此时点M的坐标；
    （3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）求出点C的坐标，则得出c=4．根据抛物线的性质求出点A，B的坐标．然后把已知坐标代入解析式求出函数表达式．
    （2）证明△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB利用线段比求出FH，FG．然后设直线BC的解析为y=kx+b1，求出解析式后可求出点G的坐标为（m，-2m+4），然后可求出S的函数解析式．做MN1⊥x轴于M1，证明△MM1D∽△FED，利用线段比有关线段的值最后求出点M的坐标．
    （3）依题意求出点Q的坐标，设P点坐标为（0，n）．在△BPQ中，分三种情况讨论点P的坐标．
    解答：精英家教网解：（1）∵OC=4，
    ∴点C的坐标为（0，4）．
    ∴c=4，则抛物线解析式为y=ax2+bx+4．
    ∵AO=2OC，则AO=8，
    ∴点A的坐标为（-8，0）．
    又∵抛物线对称轴为直线x=-3，
    ∴点B的坐标为（2，O）．
    ∴
    0=64a-8b+4
    0=4a+2b+4
    ，
    解得
    a=-
    1
    4
    b=-
    3
    2
    ．
    ∴该抛物线的函数表达式为y=-
    1
    4
    x2-
    3
    2
    x+4    ．（3分）

    （2）∵矩形DEFG中FG∥ED，设FG与y轴交于点H，
    ∴△CFH∽△CAO，△CHG∽△COB．
    ∴
    FH
    AO
    =
    CH
    CO
    =
    HG
    OB
    ，即
    FH
    8
    =
    m
    2
    ．
    ∴FH=4m，故FG=5m．
    设直线BC的解析式为：y=kx+b1，则
    4=b1
    0=3k+b1
    ，
    解得
    k=-2
    b1=4
    ．
    ∴直线BC的解析式为y=-2x+4，则点G的坐标为（m，-2m+4）
    ∴S=FG×GD=5m（-2m+4）=-10（m-1）2+10（5分）
    ∵0≤m≤2，
    ∴当m=1时，S最大．此时OD=1，OE=4，∴DE=5．
    过M作MM1⊥x轴于M1，则△MM1D∽△FED，
    ∴
    MM1
    FE
    =
    MD
    DF
    =
    DM1
    DE

    ∵FM=
    2
    5
    DF    ，
    ∴
    MD
    DF
    =
    7
    5
    ．则
    MM1
    2
    =
    DM1
    5
    =
    7
    5
    ．
    ∴MM1=
    14
    5
    ，DM1=7，则OM1=6．
    ∴此时点M的坐标为(-6，
    14
    5
    )    ．（7分）

    （3）存在．理由如下：
    ∵点Q在抛物线上，且横坐标为-4，
    ∴yQ=6，
    ∴点Q坐标为（-4，6），
    设P的坐标为（0，n），在△BPQ中，
    若∠BQP为直角，则PQ2+BQ2=BP2，
    ∴42+（n-6）2+62+（2+4）2=22+n2，
    解得n=10，
    此时点P的坐标为（0，10）．（8分）
    若∠QBP为直角，则PQ2=BQ2+BP2，
    ∴42+（6-n）2=62+（2+4）2+22+n2，
    解得n=-2，
    此时点P的坐标为（0，-2）．（9分）
    若∠QPB为直角，则BQ2=BP2+PQ2，
    ∴62+（2+4）2=42+（n-6）2+22+n2，
    解得n1=3+
    		17
    ，n2=3-
    		17

    此时点P的坐标为(0，3+
    		17
    )    或(0，3-
    		17
    )    ．（11分）
    综上所述，存在这样的点P，使得以△BPQ是直角三角形，所求的点P的坐标为：
    （O，10）或（0，-2）或(0，3+
    		17
    )    或(0，3-
    		17
    )    ．
    点评：本题考查的是二次函数的综合运用．利用待定系数法以及结合二次函数图象求解，难度较大．
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    1
    2
    ，
    9
    8
    ），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
    （1）求a值；
    （2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
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    （1）求A，B两点的坐标；
    （2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
    （3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

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    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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