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某隧道根据地质结构要求其横截面要建成抛物线拱形,计划路面水平宽度AB=12m,根据施工需要,选取AB的中点D为支撑点,搭一个正三角形支架ADC,C点在抛物线上(如图所示),过C竖一根立柱CO⊥AB于O.
(1)求立柱CO的长度;
(2)以O点为坐标原点,AB所在的直线为横坐标轴,自己画出平面直角坐标系,写出A、B、C三点的坐标(坐标轴上的一个长度单位为1m);
(3)求经过A、B、C三点的抛物线方程;
(4)请帮助施工技术员计算该抛物线拱形的高.
(1)△ADC是边长为6的正三角形,CO是AD边上的高,
∴AO=OD=3,
CO2=
AC2-AO2
=
36-9
=3
3
(米)

(2)画出平面直角坐标系.
则A、(-3,0),B、(9,0),C、(0,3
3


(3)CO=3
3
,设抛物线方程为y=ax2+bx+3
3

把A(-3,0)、B(9,0)代入抛物线方程有
9a-3b+3
3
=0
81a+9b+3
3
=0

解得
a=-
3
9
b=
2
3
3

故y=-
3
9
x2+
2
3
3
x+3
3


(4)y=-
3
9
x2+
2
3
3
x+3
3
=-
3
9
(x2-6x-27)
=-
3
9
(x-3)2+4
3

故y的最大值是4
3
,即该抛物线拱形的高是4
3
m.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图(1)己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴正半轴交于点C,且
cos∠CAB=
10
10

(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(2),己知点H(0,1).问在抛物线上是否存在点G,使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(3),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

下表给出了一个二次函数的一些取值情况:
x…024
y…3-13
(1)求这个二次函数的解析式,并求出其图象与x轴的交点坐标;
(2)请在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3)根据其图象写出x取何值时,y>0.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,二次函数y1=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)当∠ABC=45°时,求m的值;
(3)已知一次函数y2=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象于N.若只有当-2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,斜坡PQ的坡度i=1:
3
,在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA,顶端A处有一旋转式喷头向外喷水,水流在各个方向沿相同的抛物线落下,水流最高点M比点A高出1m,且在点A测得点M的仰角为30°,以O点为原点,OA所在直线为y轴,过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系.设水喷到斜坡上的最低点为B,最高点为C.
(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式;
(2)求此抛物线AMC的解析式;
(3)求|xC-xB|;
(4)求B点与C点间的距离.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B、C在x轴上,A、D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内.
(1)求二次函数的解析式;
(2)设点A的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;
(3)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9?试证明你的结论.
(4)求出当x为何值时P有最大值?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=x2+8x-
39
4
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有______个.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,某同学在探究二次函数图象时,作直线y=m平行于x轴,交二次函数y=x2的图象于A、B两点,作AC、BD分别垂直于x轴,发现四边形ABCD是正方形.
(1)求m的值及A、B两点的坐标;
(2)如图所示,将抛物线“y=x2”改为“y=x2-2x+2”,直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行,其它关系不变,求m的值及A、B两点的坐标.
(3)如图所示,将图中的改为“y=ax2+bx+c(a>0),其它关系不变,请直接写出m的值及A、B两点的坐标(用含有a、b、c的代数式表示)
[提示:抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
),对称轴为x=-
b
2a
].

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,英华学校准备围成一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃,现有长为24m的篱笆,一面靠墙(墙长为10m),设花圃宽AB为x(m),面积为S(m2).
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少;
(3)能围出比45m2更大的花圃吗?若能,求出最大的面积;若不能,请说明理由.

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同步练习册答案