Question

5．如图，⊙O的直径AB=5，弦AC=3，△PEF的顶点在△ABC的边上，EF∥CB，PB=2EC，设EC=t，△PEF的面积为S．
（1）当t=1时，求EF；
（2）若EP=PF，求t的值；
（3）写出S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（4）当t为何值时，EP⊥PF？

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理得到AC=3，再证明△AEF∽△ACB，利用相似比得到EF=4-$\frac{4}{3}$t，任何把t=1代入计算即可；
（2）作PH⊥EF于H，如图，利用等腰三角形的性质得EH=FH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{4}{3}$），再由四边形PHEC为矩形得到EH=PC=4-2t，则4-2t=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{4}{3}$t），然后解方程即可得t=$\frac{3}{2}$；
（3）利用三角形面积公式得到S=$\frac{1}{2}$•t•（4-$\frac{4}{3}$t），然后根据二次函数的性质解决问题；
（4）利用相似三角形的判定方法，当$\frac{CP}{EP}$=$\frac{EP}{EF}$时，△PCE∽△EPF，则EP²=（4-2t）（4-$\frac{4}{3}$t），加上EP²=EC²+PC²=t²+（4-2t）²，于是得到（4-2t）（4-$\frac{4}{3}$t）=t²+（4-2t）²，然后解方程即可．

解答 解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE：AC=EF：CB，即（3-t）：3=EF：4，解得EF=4-$\frac{4}{3}$t，
当t=1时，EF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；

（2）作PH⊥EF于H，如图，
∵PE=PF，
∴EH=FH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{4}{3}$），
易得四边形PHEC为矩形，
∴EH=PC=BC-BP=4-2t，
∴4-2t=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{4}{3}$t），解得t=$\frac{3}{2}$；

（3）S=$\frac{1}{2}$PH•EF=$\frac{1}{2}$•t•（4-$\frac{4}{3}$t）=-$\frac{2}{3}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，S的最大值为$\frac{3}{2}$；

（4）∵EF∥BC，
∴∠CPE=∠PEF，
∴当$\frac{CP}{EP}$=$\frac{EP}{EF}$时，△PCE∽△EPF，
即EP²=（4-2t）（4-$\frac{4}{3}$t），
而EP²=EC²+PC²=t²+（4-2t）²，
（4-2t）（4-$\frac{4}{3}$t）=t²+（4-2t）²，
整理得7t²-8t=0，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{8}{7}$，
即当t为$\frac{8}{7}$时，EP⊥PF．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质；能利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用二次函数的性质解决最值问题．