Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线是否存在一点P，使得△BDP是以BD为斜边的直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），
∴0=a+b-3，0=9a+3b-3，
解得：a=-1，b=4，
∴y=-x²+4x-3；

（2）如图1，过P作x轴的平行线交Y轴于E点，过B点作X轴的垂线交EP的延长线于F点，
设P（t，-t²+4t-3），当P点在第一象限时，则DE=-t²+4t，PF=3-t，PE=t，BF=-t²+4t-3，
可证△DEP∽△PFB，，，
可求得，
所以P（，），
同理，当P点在第四象限时，可求得P（，）；

（3）如图2，设N（m，0）则M（m，-m²+4m-3），MN=m²-4m+3
若△AMN∽△CDB，，
当N在A点左边时AN=1-m，，
m=0或m=1（舍），所以M（0，-3），
当N在A点右边时AN=m-1，，
m=6或m=1（舍），所以M（6，-15），
若△MAN∽△CDB，，
当N在A点左边时AN=1-m，，
m=（舍）或m=1（舍），所以此时M不存在，
当N在A点右边时AN=m-1，，
m=或m=1（舍），
所以M（，），
综上M₁（0，-3）M₂（6，-15）M₃（，）．
分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过P作x轴的平行线交Y轴于E点，过B点作X轴的垂线交EP的延长线于F点，利用三角形相似得出P点的坐标；
（3）利用△AMN∽△CDB，当N在A点左边时，当N在A点右边时，当N在A点右边时，当N在A点左边时分别得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．