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【题目】在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(﹣ 2,﹣ 2),( ),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.

(1)若点 P(2,b)是反比例函数 (n 为常数,n ≠ 0) 的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;

(2)⊙ O 的半径是

①求出⊙ O 上的所有梦之点的坐标;

②已知点 M(m,3),点 Q 是(1)中反比例函数 图象上异于点 P 的梦之点,过点Q 的直线 l 与 y 轴交于点 A,tan∠OAQ= 1.若在⊙ O 上存在一点 N,使得直线 MN ∥ l或 MN ⊥ l,求出 m 的取值范围.

【答案】(1)反比例函数解析式为

(2)①⊙ O 上的所有梦之点的坐标为(1,1)或(-1,-1);②m 的取值范围是-5≤m≤-1或1≤m≤5.

【解析】试题分析:(1)由梦之点坐标特点可得b=2,再将P坐标代入中,即可求得n的值;(2设⊙O上梦之点坐标是(a,a,由圆的半径是得:

a=1a=-1,所以⊙O上所有梦之点坐标是(1,1)或(-1,-1); 由(1)可得,异于点P的梦之点是(-2,-2,设直线MNy=-x+b,求得m的取值范围;当直线MNy=x+b时,求得m的取值范围;

试题解析:

解:(1) P2,b)是梦之点

b=2

P2,2

P2,2 代入 中得n=4

∴反比例函数解析式是

(2) ①∵⊙O的半径是

设⊙O上梦之点坐标是(a,a

a=1a=-1

∴⊙O上所有梦之点坐标是(1,1)或(-1,-1

②由(1)知,异于点P的梦之点是(-2,-2

tanOAQ=1

∴∠OAQ==45°

由已知MNlMNl,如图所示:

∴直线MNy=-x+by=x+b

MNy=-x+b时,m=b-3

由图可知,当直线MN平移至与⊙O相切时,

且切点在第四 象限时,b取得最小值,

此时MN 记为

其中 为切点, 为直线与y轴的交点。

∵△O 为等要直角三角形,

O = O=2

b的最小值是-2

m的最小值是-5

当直线MN平移至与⊙O相切时,且切点在第二象限时,

b取得最大值,此时MN 记为

其中 为切点, 为直线y轴的交点。

同理可得,b的最大值为2m的最大值为-1.

m的取值范围为-5≤m≤-1

当直线MNy=x+b时,

同理可得,m的取值范围为1≤m≤5

综上所述,m的取值范围为-5≤m≤-11≤m≤5.

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