Question

6．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ACD=∠ABC得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，则AD=AB，加上EB=AD，则AB=EB，再根据圆内接四边形的性质得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判断△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，则60°≤∠DCE＜90°，根据三角形边角关系得AE≥AC，而OE＞AE，所以OE＞AC，作OH⊥EF于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得OH=$\frac{1}{2}$OE，所以OH＞OA，则根据直线与圆的位置关系可判断直线EF与⊙O相离．

解答 （1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AB}$，
∴AD=AB，
∵EB=AD，
∴AB=EB，
∵∠EBA=∠ADC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直线EF与⊙O相离．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ACB，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如图，
在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OE，
∴OH＞OA，
∴直线EF与⊙O相离．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系．