Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（-4，0），B（0，2），C（6，0），直线AB与直线CD相交于点D，D点横纵坐标相同．
（1）求点D的坐标；
（2）点P从O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正半轴匀速运动，过点P作x轴的垂线分别与直线AB、CD交于E、F两点，设点P的运动时间为t秒，线段EF的长为y（y＞0），求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在直线CD上是否存在点Q，使得△BPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据条件可求得直线AB的解析式，可设D为（a，a），代入可求得D点坐标；
（2）分0＜t＜4、4＜t≤6和t＞6三种情况分别讨论，利用平行线分线段成比例用t表示出PE、PF，可得到y与t的函数关系式；
（3）分0＜t＜4和t＞4，两种情况，过Q作x轴的垂线，证明三角形全等，用t表示出Q点的坐标，代入直线CD，可求得t的值，可得出Q点的坐标．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（-4，0）、B（0，2）两点代入，
解得，k=

1

2

，b=2，
∴直线AB解析式为y=

1

2

x+2，
∵D点横纵坐标相同，设D（a，a），
∴a=

1

2

a+2，
∴D（4，4）；
（2）设直线CD解析式为y=mx+n，
把C、D两点坐标代入，解得m=-2，n=12，
∴直线CD的解析式为y=-2x+12，
∴AB⊥CD，
当 0≤t＜4时，如图1，

设直线CD于y轴交于点G，则OG=12，OA=4，OC=6，OB=2，OP=t，
∴PC=6-t，AP=4+t，
∵PF∥OG，
∴

PE

OB

=

AP

AO

，

PF

OG

=

PC

OC

，
∴

PE

2

=

4+t

4

，

PF

12

=

6-t

6

，
∴PE=2+

t

2

，PF=12-2t，
∴y=PF-PE=-2t+12-(

1

2

t+2)=-

5

2

t+10，
当4＜t≤6时，如图2，

同理可求得PE=2+

t

2

，PF=12-2t，
此时y=PE-PF=

1

2

t+2-(-2t+12)=

5

2

t-10，
当t＞6时，如图3，

同理可求得PE=2+

t

2

，PF=2t-12，
此时y=PE+PF=

5

2

t-10；
综上可知y=

- 5 2 t+10(0＜t＜4) 5 2 t-10(t＞4)

，t的取值范围为：0＜t＜4或t＞4；
（3）存在．
当0＜t＜4时，过点Q作QM⊥x轴于点M，如图4，

∵∠BPQ=90°，
∴∠BPO+∠QPM=∠OBP+∠BPO=90°，
∴∠OPB=∠QPM，
在△BOP和△PMQ中，

∠BOP=∠PMQ ∠OBP=∠QPM BP=PQ

，
∴△BOP≌△PMQ（AAS），
∴BO=PM=2，OP=QM=t，
∴Q（2+t，t），
又Q在直线CD上，
∴t=-2（t+2）+12，
∴t=

8

3

，
∴Q（

14

3

，

8

3

）；
当t＞4时，过点Q作QN⊥X轴于点N，如图5，

同理可证明△BOP≌△PNQ，
∴BO=PN=2，OP=QN=t，
∴Q（t-2，-t），
又∵Q在直线CD上，
∴-t=-2（t-2）+12，
∴t=16，
∴Q（14，-16），
综上可知，存在符合条件的Q点，其坐标为（

14

3

，

8

3

）或（14，-16）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合应用．求得点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中利用t表示出相应线段，化动为静是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题难度较大，知识点较多，注意分类讨论思想的应用．