Question

4．已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围-$\frac{9}{4}$≤y＜4；
（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据增减性确定m的值即可．
（2）画出函数图象，求出函数最小值以及x=0或4是的y的值，由此即可判断．
（3）由BC=1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A（1，-2），D（2，-2），求出AB，即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，
∴0=0+0+m²-1，即m²-1=0
解得m=±1．
又∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴m=-1，
∴二次函数解析式为y=x²-3x．

（2）如图1中，

x=0时，y=0，
∵y=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴x=$\frac{3}{2}$时，y最小值为-$\frac{9}{4}$，
x=4时，y=4，
∴0＜x＜4时，-$\frac{9}{4}$≤y＜4．
故答案为-$\frac{9}{4}$≤y＜4．

（3）如图2中，

∵BC=1，B、C关于对称轴对称，
∴B（，1，0），C（（2，0），
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴A（1，-2），D（2，-2），
∴AB=DC=2，BC=AD=1，
∴四边形ABCD的周长为6，
当BC=1时，矩形的周长为6．

点评 本题考查二次函数的有关性质、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法确定函数的顶点坐标，学会根据抛物线的对称性解决问题，属于中考常考题型．