Question

如图，AD、CE分别为△ABC的边BC、AB上的高，G是AC的中点，FG⊥DE，垂足为F．求证：
（1）F是DE的中点；
（2）A、D、C、E在以G为圆心的同一个圆上．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）如图，连接GE、GD．利用直角△ACE和直角△ACD斜边上的中线的性质求得GE=GD，则由等腰三角形“三合一”的性质证得结论；
（2）点E、D都在以AC为直径的圆上．又由G是AC的中点，知道点G是圆心．

解答：证明：（1）如图，连接GE、GD．
∵G是AC的中点，
∴在直角△ACE中，GE=

1

2

AC．
在直角△ACD中，GD=

1

2

AC，
∴GE=GD．
又∵FG⊥DE，
∴点F是DE的中点；

（2）由（1）知，GE=GD=

1

2

AC．
∵点G是AC的中点，
∴GA=GC，
∴GA=GC=GE=GD，
∴点A、C、E、D都在以AC为直径的圆上，且圆心是点G．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的判定与性质．证明（2）题时，利用了圆的定义．